Étudier des suites réelles liées entre elles par une relation linéaire avec les matrices (1) - Corrigé

Énoncé

On considère les suites réelles  \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\)  et  \((w_n)_{n\in\mathbb{N}}\)  définies par : pour tout  \(n\in\mathbb{N}, \begin{cases} u_{n+1}=2u_n+2w_n \\ w_{n+1}=2u_n-2w_n \\u_0=1 \text{ ; } w_0=-1 \end{cases}\) .

1. En posant, pour tout  \(n\in\mathbb{N},\)    \(X_n=\begin{pmatrix}u_n\\w_n\end{pmatrix}\) , justifier qu'on peut écrire ce problème sous la forme matricielle  \(X_{n+1}=AX_n\)  avec  \(A\)  et  \(X_0\)  des matrices à préciser.

2. Exprimer  \(X_n\)  en fonction de  \(A\)  et de  \(n\) .

3. Calculer  \(A^2\)  et en déduire une expression de  \(A^n\)  selon la parité de  \(n\) .

4. En déduire une expression de  \(X_n\) , puis de \(u_n\)  et \(w_n\)  en fonction de  \(n\) .

5. Les suites réelles  \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\)  et  \((w_n)_{n\in\mathbb{N}}\)  convergent-elles ?

Solution

1. On peut aisément vérifier que le système  \(\begin{cases} u_{n+1}=2u_n+2w_n \\ w_{n+1}=2u_n-2w_n \\u_0=1 \text{ ; } w_0=-1 \end{cases}\)  s'écrit sous forme matricielle :  \(\begin{cases} X_{n+1}=AX_n \\X_0=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} \text{ ; } A=\begin{pmatrix}2&2\\2&-2\end{pmatrix} \end{cases}\)

2.  \(X_n=A^nX_0\)

3.  \(A^2=\begin{pmatrix}8&0\\0&8\end{pmatrix}=8I_2\)  avec  \(I_2\)  la matrice identité de taille 2. On a donc, pour tout  \(k\in\mathbb{N}\) ,  \(A^{2k}=8^kI_2=\begin{pmatrix}2^{3k}&0\\0&2^{3k}\end{pmatrix}\)  
et  \(A^{2k+1}=8^kA=\begin{pmatrix}2\times8^k&2\times8^k\\2\times8^k&-2\times8^k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2^{3k+1}&2^{3k+1}\\2^{3k+1}&-2^{3k+1}\end{pmatrix}\)

4. Pour  \(n=2k\)  pair, on a donc  \(X_{2k}=\begin{pmatrix}2^{3k}\\-2^{3k}\end{pmatrix}\) , ce qui donne  \(\begin{cases} u_{2k}=2^{3k} \\ w_{2k}=-2^{3k}\end{cases}\)

et, pour  \(n=2k+1\)  impair,  \(X_{2k+1}=\begin{pmatrix}0\\2^{3k+2}\end{pmatrix}\) ,  ce qui donne  \(\begin{cases} u_{2k+1}=0 \\ w_{2k+1}=2^{3k+2}\end{cases}\) .

5. Les deux suites réelles  \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\)   et  \((w_n)_{n\in\mathbb{N}}\)  sont donc divergentes.